工科類本科數學基礎課程教學基本要求(修訂稿)
教育部非數學類專業數學基礎課程教學指導分委員會
一、前言
數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學. 随着現代科學技術和數學科學的發展,“數量關系”和“空間形式”具備了更豐富的内涵和更廣泛的外延. 現代數學内容更加豐富, 方法更加綜合, 應用更加廣泛. 數學不僅是一種工具, 而且是一種思維模式; 不僅是一種知識, 而且是一種素養; 不僅是一種科學, 而且是一種文化, 能否運用數學觀念定量思維是衡量民族科學文化素質的一個重要标志. 數學教育在培養高素質科學技術人才中具有其獨特的、不可替代的重要作用.
高等學校工科類專業本科生的數學基礎課程應包括微積分、線性代數與空間解析、概率論與數理統計, 它們都是必修的重要基礎理論課. 通過這些課程的學習, 應使學生獲得一元函數微積分及其應用、多元函數微積分及其應用、無窮級數與常微分方程、向量代數與空間解析幾何、線性代數、概率論與數理統計等方面的基本概念、基本理論、基本方法和運算技能, 為今後學習各類後繼課程和進一步擴大數學知識面奠定必要的連續量、離散量和随機量方面的數學基礎. 在傳授知識的同時, 要努力培養學生進行抽象思想和邏輯推理的理性思維能力, 綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力以及較強的自主學習能力, 逐步培養學生的創新精神和創新能力.
課程的教學基本要求, 是工科院校本科生學習本課程都應當達到的合格要求, 其中帶*号的條目是為某些相關專業選用的, 也是對選用專業學生的基本要求. 各校根據本校的實際情況, 在達到基本要求的基礎上, 還可以提出一些較高的或特殊的要求.
各門課程的内容按教學要求的不同, 都分為兩個層次. 文中用黑體字排印的内容, 應使學生深入領會和掌握, 并能熟練運用. 其中, 概念、理論用“理解”一詞表述, 方法、運算用“掌握”一詞表述. 非黑體字排印的内容, 也是必不可少的, 隻是在教學要求上低于前者. 其中, 概念、理論用“了解”一詞表述, 方法、運算用“會”或“了解”表述.
基本要求中所列出的各項内容與要求是制訂教學計劃、教學大綱和編寫教材的重要依據, 但不涉及課程體系的結構、教學内容的先後安排和編寫教材的章節順序.
二、微積分課程教學基本要求
(一) 函數、極限、連續
1. 在中學已有函數知識的基礎上，加深對函數概念的理解和函數性質(奇偶性、單調性、周期性和有界性)的了解.
2. 理解複合函數的概念，了解反函數的概念.
3. 會建立簡單實際問題中的函數關系式.
4. 理解極限的概念，了解極限ε-N，ε-δ定義(不要求學生做給出ε求N或δ)的習題.
5. 掌握極限的有理運算法則, 會用變量代換求某些簡單複合函數的極限.
6. 了解極限的性質(唯一性、有界性、保号性) 和兩個存在準則(夾逼準則與單調有界準則) , 會用兩個重要極限
與
求極限.
7. 了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念, 會用等價無窮小求極限.
8. 理解函數在一點連續和在一區間上連續的概念.
9. 了解函數間斷點的概念, 會判别間斷點的類型.
10. 了解初等函數的連續性和閉區間上連續函數的介值定理與最大值、最小值定理.
(二) 一元函數微分學及其應用
1. 理解導數的概念及其幾何意義(不要求學生做利用導數的定義研究抽象函數可導性的習題) , 了解函數的可導性與連續性之間的關系.
2. 了解導數作為函數變化率的實際意義, 會用導數表達科學技術中一些量的變化率.
3. 掌握導數的有理運算法則和複合函數的求導法, 掌握基本初等函數的導數公式.
4. 理解解微分的概念, 了解微分概念中所包含的局部線性化思想, 了解微分的有理運算法則和一階
微分形式不變性.
5. 了解高階導數的概念, 掌握初等函數一階、二階導數的求法(不要求學生求函數的n階導數的一般表達式).
6. 會求隐函數和由參數方程所确定的函數的一階導數以及這兩類函數中比較簡單的二階導數, 會解一些簡單實際問題中的相關變化率問題.
7. 理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理, 了解柯西(Cauchy)定理(對三個定理的分析證明不作要求, 并且不要求學生掌握構造輔助函數證明相關問題的技巧), 會用洛必達(L'Hospital)法則求不定式的極限.
8. 了解泰勒(Taylor)定理以及用多項式逼近函數的思想(對定理的分析證明以及利用泰勒定理證明相關問題不作要求).
9. 理解函數的極值概念, 掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的方法. 會求解較簡單的最大值與最小值的應用問題.
10. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性, 會求拐點, 會描繪一些簡單函數的圖形(包括水平和鉛直漸近線).
11. 了解曲率和曲率半徑的概念, 會計算曲率和曲率半徑.
12. 了解求方程近似解的二分法和切線法的思想.
(三) 一元函數積分法及其應用
1. 理解定積分的概念和幾何意義(對于利用定積分定義求定積分與求極限不作要求) , 了解定積分的性質和積分中值定理.
2. 理解原函數與不定積分的概念, 理解變上限的積分作為其上限的函數及其求導定理, 掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式.
3. 掌握不定積分的基本公式以及求不定積分、定積分的換元法與分部積分法(淡化特殊積分技巧的訓練, 對于求有理函數積分的一般方法不作要求, 對于一些簡單有理函數、三角有理函數和無理函數的積分可作為兩類積分法的例題作适當訓練).
4. 掌握科學技術問題中建立定積分表達式的元素法(微元法) , 會建立某些簡單幾何量和物理量的積分表達式.
5. 了解兩類反常積分及其收斂性的概念.
6. 了解定積分的近似計算法(梯形法和抛物線法) 的思想.
(四) 多元函數微分學及其應用
1. 理解二元函數的概念, 了解多元函數的概念.
2. 了解二元函數的極限與連續性的概念, 了解有界閉區域上連續函數的性質.
3. 理解二元函數偏導數與全微分的概念, 了解全微分存在的必要條件與充分條件.
4. 了解一元向量值函數及其導數的概念與計算方法.
5. 了解方向導數與梯度的概念及其計算方法.
6. 掌握複合函數一階偏導數的求法, 會求複合函數的二階偏導數(對于求抽象複合函數的二階導數, 隻要求作簡單訓練).
7. 會求隐函數(包括由兩個方程構成的方程組确定的隐函數) 的一階偏導數(對求二階偏導數不作要求).
8. 了解曲線的切線和法平面以及曲面的線平面與法線, 并會求出它們的方程.
9. 理解二元函數極值與條件極限的概念, 會求二元函數的極值, 了解求條件極值的拉格朗日乘數法, 會求解一些比較簡單的最大值與最小值的應用問題.
(五) 多元函數微積分學的應用
1. 理解二重積分的概念, 了解三重積分的概念, 了解重積分的性質.
2. 掌握二重積分的計算方法(直角坐标、極坐标) , 會計算簡單的三重積分(直角坐标、柱面坐标、*球面坐标).
3. 理解兩類曲線積分的概念, 了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系, 會計算兩類曲線積分(對于空間曲線積分的計算隻作簡單訓練).
4. 掌握格林(Green) 公式, 會使用平面線積分與路徑無關的條件, 了解第二類平面線積分與路徑無關的物理意義.
5. 了解兩類曲面積分的概念及其計算方法.
6. 了解高斯(Gauss) 公式, 斯托克斯(Stokes)公式(斯托克斯公式的證明以及利用該公式計算空間曲線積分不作要求).
*7. 了解場的基本概念, 了解散度、旋度的概念和某些特殊場(無源場、無旋場和調和場) , 會計算散度與旋度.
8. 了解科學技術問題中建立重積分與曲線、曲面積分表達式的元素法(微元法) , 會建立某些簡單的幾何量和物理量的積分表達式.
(六) 無窮級數
1. 理解無窮級數收斂、發散以及和的概念, 了解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件.
2. 了解正項級數的比較審斂法以及幾何級數與p-級數的斂散性, 掌握正項級數批值審斂法.
3. 了解交錯級數的萊布尼茲定理, 會估計交錯級數的截斷誤差. 了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關系.
4. 了解函數項級數的收斂域與和函數的概念, 掌握簡單幂級數收斂區間的求法(區間端點的收斂性不作要求). 了解幂級數在其收斂區間内的一些基本性質(對求幂級數的和函數隻要求作簡單訓練).
5. 會利用
，sin x, cos x, ln(1+x)與
的馬克勞林(Maclaurin) 展開式将一些簡單的函數展開成幂級數.
6. 了解利用将函數展開為幂級數進行近似計算的思想.
7. 了解用三角函數逼近周期函數的思想, 了解函數展開為傅裡葉(Fourier)級數的狄利克雷(Dirich let)條件, 會将定義在(-π,π) 和(-l, l)上的函數展開為傅裡葉級數, 會将定義在(0, l)上的函數展開為傅裡葉正弦或餘弦級數.
（七） 常微分方程
1. 了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念.
2. 掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法.
3. 會解齊次方程, 并從中領會用變量代換求解微分方程的思想.
4. 會用降階法求下列三種類型的高階方程: 
，
，
.
5. 理解二階線性微分方程解的結構.
6. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法, 了解高階常系數齊次線性微分方程的解法.
7. 會求自由項形如
，
的二階常系數非齊次線性微分方程的特解, 其中
為實系數n次多項式, α,β,A，B為實數.
8. 會會通過建立微分方程模型, 解決一些簡單的實際問題.
三、線性代數與空間解析幾何課程教學基本要求
說明：在此次修訂中, 考慮到線性代數與空間解析幾何的内在聯系, 我們将線性代數與空間解析幾何作為一門課程, 但基本要求的具體内容還是相對獨立的, 并且不要求所有學校都遵循這一模式. 将空間解析幾何與線性代數分開授課的學校可根據基本要求中的空間解析幾何部分的要求(即幾何向量和空間曲線與曲面兩章) 進行教學.
(一) 行列式
1. 了解行列式的定義.
2. 掌握行列式的性質和行列式按行(列)展開的方法.
3. 會計算簡單的n階行列式.
(二) 矩陣
1. 理解矩陣的概念.
2. 了解單位矩陣, 數量矩陣、對角矩陣, 三角矩陣, 對稱矩陣以及它們的基本性質.
3. 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算規則.
4. 理解逆矩陣的概念. 掌握矩陣可逆的充要條件, 掌握可逆矩陣的性質.
5. 掌握矩陣的初等變換及用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法.
6. 了解矩陣等價的概念.
7. 理解矩陣秩的概念并掌握其求法.
(三) 幾何向量
1. 理解空間直角坐标系, 理解向量的概念及其表示.
2. 掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積) , 了解兩個向量垂直、平行的條件
3. 掌握單位向量、方向餘弦、向量的坐标表達式以及用坐标表達式進行向量運算的方法.
4. 掌握平面的方程和直線的方程及其求法, 會利用平面、直線的相互關系解決有關問題.
(四) n維向量與向量空間
1. 理解n維向量的概念.
2. 理解向量組的線性組合、線性相關、線性無關的概念.
3. 掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判别法.
4. 了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念, 會求向量組的極大線性無關組及秩.
5. 了解n維向量空間、線性子空間、基底、維數、坐标等概念.
*6. 了解基變換公式和坐标變換公式, 會求過渡矩陣.
7. 了解内積的概念, 會用施密特(Schmidt)方法将線性無關的向量組标準正交化.
8. 了解标準正交基、正交矩陣的概念及它們的性質.
9. 了解線性變換的概念及其矩陣表示.
(五) 線性方程組
1. 了解克萊姆(Cramer)法則.
2. 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件.
3. 理解齊次線性方程組的基礎解系及通解等概念.
4. 理解非齊次線性方程組解的結構及通解等概念.
5. 掌握用行初等變換求線性方程組的通解的方法.
(六) 矩陣的特征值與特征向量
1. 理解矩陣的特征值與特征向量的概念, 會求矩陣的特征值與特征向量.
2. 了解相似矩陣的概念和性質.
3. 了解矩陣對角化的充要條件和對角化的方法.
4. 會求實對稱矩陣的相似對角形矩陣
(七) 實二次型
1. 掌握二次型及其矩陣表示, 了解二次型的秩的概念.
2. 了解合同變換和合同矩陣的概念.
3. 了解實二次型的标準形式及其求法.
4. 了解慣性定理(對定理的證明不作要求) 和實二次型的規範形.
5. 了解正定二次型、正定矩陣的概念及它們的判别法.
(八) 空間曲線與曲面
1. 理解二次曲面方程的概念, 了解空間曲線方程的概念.
2. 了解常用二次曲面的方程及其圖形, 了解以坐标軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐标軸的柱面方程.
3. 了解空間曲線的參數方程和一般方程.
4. 了解曲面的交線在坐标平面上的投影.
*5. 了解二次曲面的分類.
四、概率論與數理統計課程教學基本要求
(一) 随機事件與概率
1. 了解随機現象, 了解樣本空間的概念, 理解随機事件的概念, 掌握事件之間的關系與運算.
2. 了解事件頻率的概念, 理解概率的統計定義. 了解概率的古典定義, 會計算簡單的古典概率
3. 理解概率的公理化定義和概率的基本性質, 了解概率加法定理.
4. 了解條件概率的概念、概率的乘法定理. 了解全概率公式, 會應用貝葉斯(Bayes)公式解決比較簡單的問題.
5. 理解事件的獨立性概念.
6. 了解貝努利(Bernoulli)概型和二項概率的計算方法.
(二) 随機變量及其分布
1. 理解随機變量的概念, 了解分布函數的概念和性質, 會計算與随機變量相聯系的事件的概率.
2. 理解離散型随機變量及其分布律的概念, 掌握0-1分布、二項分布和泊松(Poisson)分布.
3. 理解解連續型随機變量及其密度函數的概念, 掌握正态分布, 了解均勻分布和指數分布.
4. 會根據自變量的概率分布求簡單随機變量函數的概率分布.
(三) 多維随機變量及其分布
1. 了解多維随機變量的概念, 了解二維随機變量的聯合分布函數.
2. 了解二維離散型随機變量的聯合分布律的概念, 理解二維連續型随機變量的聯合密度函數的概念.
3. 理解二維随機變量的邊緣分布.
4. 理解随機變量的獨立性概念.
5. 會求兩個獨立随機變量簡單函數的分布(和、差、商、極大、極小).
(四) 随機變量的數字特征
1. 理解随機變量數學期望與方差的概念, 掌握它們的性質與計算方法.
2. 了解0-1分布、二項分布、泊松分布、正态分布、均勻分布和指數分布的數學期望與方差.
3. 了解矩、協方差、相關系數的概念及其性質, 并會計算.
(五) 大數定律和中心極限定理
1. 了解切比雪夫(Чебышёв) 不等式、切比雪夫大數定律和貝努利大數定律, 了解貝努利大數定律與概率的統計定義、參數估計之間的關系.
*2. 了解獨立同分布的中心極限定理和棣莫弗(De moiver)-拉普拉斯(Laplace)中心極限定理.
*3. 了解棣莫弗(De moiver)-拉普拉斯(Laplace)中心極限定理在實際問題中的應用.
(六) 數理統計的基本概念
1. 理解總體、個體、樣本和統計量的概念.
2. 了解直方圖的作法.
3. 理解樣本均值、樣本方差的概念, 掌握根據數據計算樣本均值、樣本方差的方法.
4. 了解χ2分布，t分布，F分布的定義, 并會查表計算分位數.
5. 了解正态總體的某些常用抽樣分布, 如正态總體樣本産生的标準正态分布χ2分布，t分布，F分布等.
(七) 參數估計
1. 理解點估計的概念, 了解矩估計法與極大似然估計法.
2. 了解無偏性、有效性、一緻性等估計量的評判标準.
3. 理解區間估計的概念, 會求單個正态總體均值與方差的置信區間, 會求兩個正态總體均值差與方差比的置信區間.
(八) 假設檢驗
1. 理解假設檢驗的基本思想, 掌握假設檢驗的基本步驟, 了解假設檢驗可能産生的兩類錯誤.
2. 了解單個和兩個正态總體均值與方差的假設檢驗.
3. 了解總體分布假設的χ2檢驗法, 會應用該方法進行分布拟合優度檢驗.
五、建議
1. 在課程的教學過程中, 應當積極開展對教學内容與課程體系、教學方法與教學手段的改革, 認真總結經驗, 并将教學改革的成果逐步吸收到教學中來, 不斷提高教學質量。要不斷更新教學内容, 逐步實現教學内容的現代化; 要加強不同數學分支間的相互結合和相互滲透, 進行課程和内容的重組; 要突出數學思想方法的教學, 加強數學應用能力的培養, 淡化運算技巧的訓練; 要尊重個性, 發揮特長, 探索現階段因材施教的新方法、新模式; 要不斷探索以學生為主體有利于調動學生自主學習積極性的啟發式、讨論式、研究式的教學方法; 要積極采用現代教育技術手段, 使傳統的教學手段與現代教學手段相互結合, 取長補短。
2. 各校應根據自身的實際情況, 努力創造條件, 盡快開設與理論教學相配套的數學實驗課, 使學生學會使用常用的數學軟件, 提高他們使用數學軟件解決問題的意識和能力, 逐步培養他們的數學建模能力。已開設數學實驗課的院校, 可将基本要求中有關内容的理論教學結合實驗課完成。
3. 應保證學生足夠的課外學習時間, 課内外學時比建議為1∶2。習題課是實現教學基本要求的一個重要環節, 不應取消。習題課學時應不少于總學時的1/6, 以采用小班上課為宜, 不宜用大班課代替。
4. 考試不僅是檢查教學效果的重要手段, 而且對教與學有着重要的導向作用。應積極進行考試改革, 使考試的内容和形式不但有利于檢查學生對基本知識和技能掌握的情況, 而且有利于檢測學生素質和能力的高低, 逐步建立起科學的人才評判标準和教學質量評價體系。
5. 随着現代科學技術的發展, 很多工科類專業對線性代數和随機數學(包括數理統計) 的要求越來越高。希望各校在教學過程中不斷總結經驗, 就如何改進和加強這兩門課程的教學提出意見和建議。